数学雑記

数学など

一般電卓で正の数の三乗根

・図書室で読んだ本に面白いことが書いてあった.

それは普通の電卓で三乗根(の近似値)を計算するというものだった．普通の電卓というのは三角関数などの機能もない100円ショップで手に入るような極めて身近な電卓である．

・その計算方法

① １を入力

② ２をかける

③「√ 」のボタンを２回続けて連打

④ ②,③の操作をもう一回

⑤ ④の操作を１セットをしても値が変わらなくなるまで、④を繰り返す

⑥ 値が変わらなくなったときの値が {\displaystyle \sqrt[3]{2}} である

手元の電卓で実際にやってみる

{\displaystyle 1\overset{\times2}{\rightarrow}2\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.4142135\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.189207}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.378414\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5422107\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2418577}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.4837154\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5759807\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2553806}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5107612\overset{\sqrt{\,}}{\rightarrow}1.5845381\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2587843}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5175686\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5866847\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2596367}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5192734\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5872219\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2598499}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5196998\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5873562\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599032}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198064\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5873898\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599165}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.519833\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5873981\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599198}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198396\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5874002\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599207}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198414\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5874008\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599209}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198418\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5874009\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599209}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198418\rightarrow\cdots}

となったから, {\displaystyle \sqrt[3]{2}\fallingdotseq1.2599209}

実際に三乗を計算すると, {\displaystyle 1.2599209^3=1.99999928617} で {\displaystyle \sqrt[3]{2}} の近似値と言える.

・以降、三乗根の近似値が求まる原理を数学的に書いていく

2をかけて2回√ をとるという一連の操作が {\displaystyle n} 回行われたときの値を {\displaystyle a_n} とおくと,

{\displaystyle a_0=1} であり, {\displaystyle a_{n+1}=\sqrt{\sqrt{2a_n}}}となる

よって, {\displaystyle \log a_{n+1}=\frac{1}{4}\log2a_n=\frac{1}{4}(\log a_n+\log2)}

この漸化式を解くと, {\displaystyle \log a_n=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{4^n})\log2}

つまり, {\displaystyle a_n=2^{\frac{1}{3}(1-\frac{1}{4^n})}\rightarrow 2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}(n\rightarrow\infty)} だから, 数列 {\displaystyle {a_n}} は {\displaystyle \sqrt[3]{2}} に 収束する.

この証明から②の「2をかける」の部分を「3をかける」や「5をかける」に変えれば,それぞれ {\displaystyle \sqrt[3]{3},\sqrt[3]{5}} の近似値が得られる.

・感想

確かめてみると原理に何も疑うところはないのだが、三乗根は電卓のルート計算で求められるという発想がなかったので、新鮮だった.

・参考文献

数理解析研究所講究録1920 RIMS共同研究 「数学教師に必要な数学能力の育成法に関する研究」p113 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/1920.html

Notes about specialized book

If I had much money, I would buy following books about mathematics or physics.(To be honest, I don't know why I have written not in Japanse but in English.......)

Real & Complex Analysis

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Functions of Several Variables (Undergraduate Texts in Mathematics)

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Linear Representations of Finite Groups (Graduate Texts in Mathematics)

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代数学とは何か

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Lie Groups Beyond an Introduction (Progress in Mathematics)

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Arithmetic of Quadratic Forms (Springer Monographs in Mathematics)

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Basic Number Theory (Classics in Mathematics)

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Local Fields (Graduate Texts in Mathematics)

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代数的整数論

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Algebraic Topology: A First Course (Graduate Texts in Mathematics)

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Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts)

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絶対数学原論

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数論〈2〉岩沢理論と保型形式

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保型形式論: ─現代整数論講義─ (朝倉数学大系)

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位相群上の積分とその応用 (ちくま学芸文庫)

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わかりやすい類体論と虚数乗法入門(下) (やさしい数学の発見シリーズ 4)

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Introduction To Commutative Algebra, Student Economy Edition

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Quadratic Residues and Non-Residues: Selected Topics (Lecture Notes in Mathematics)

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コホモロジーのこころ (岩波オンデマンドブックス)

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フェルマーの最終定理・佐藤‐テイト予想解決への道 (類体論と非可換類体論 1)

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ガロア理論と表現論の誤植･式変形メモ

｢ガロア理論と表現論｣で発見した誤植やワンクッション入れた式変形

ガロア理論と表現論: ゼータ関数への出発

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【第２章】

･p25の1行目の左から二番目の不等式について

{\displaystyle \sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m}p^{-m}\le\sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{2}p^{-m}=\frac{1}{2}\frac{p^{-2}}{1-p^{-1}}=\frac{1}{2p(p-1)} }

･p26の10行目について

誤 {\displaystyle \quad\zeta(s)=\prod_{p}(1-p^{-s}) }

正 {\displaystyle \quad\zeta(s)=\prod_{p}(1-p^{-s})^{-1} }

･p29の5行目のシグマ記号について

誤{\displaystyle \quad\sum_{\substack{\lambda\in\widehat{H\langle a_{1}\rangle}\\ \lambda_{1H}=\omega}} }

正{\displaystyle \quad\sum_{\substack{\lambda\in\widehat{H\langle a_{1}\rangle}\\ \lambda\mid_{H}=\omega}} }

･p29の定理1の証明の写像 {\displaystyle \varphi }の単射性について

{\displaystyle \mathrm{Ker}\varphi=\{1\}\\ \Leftrightarrow｢\varphi(a)=\hat{a}=1\Rightarrow a=1｣\\ \Leftrightarrow｢a\neq1\Rightarrow\varphi(a)=\hat{a}\neq1｣ }

線型代数

線型代数入門を持っているが、ジョルダン標準形のところは単因子論で取っ付きにくい。

線型代数入門 (基礎数学1)

線型代数入門 (基礎数学1)

線型代数入門を買った３ヶ月後くらいに出版された線型代数学はジョルダン標準形が広義固有空間を使って求める分かりやすい方式で一読の価値がある。

大学の図書館で借りてジョルダン標準形のところだけ軽く読んだだけだが期待を裏切ってないし、何度もあともう少し線型代数入門を買うのが遅かったらなぁ…と思ってる。

齋藤正彦線型代数学

齋藤正彦線型代数学

あと、大学の1,2年で線形代数の教科書だったやつ。理工学系全般で一括してこれが採用されてるし、うちの大学の教授が書いてるし、薦めておく。

線形代数・講義と演習

線形代数・講義と演習

最近

数理の図書室を積極的に利用して色々と本を読んでいる。数だけこなそうと深層では思ってるのかもしれないが。以下、読んだ･読んでるor読みたい本

複素数30講

正則～留数定理まで軽く読んだ。イメージが多少掴めたかもしれない。

現代の古典解析

深く考えずにサラーっと読んでいった。dxの単独使用や近似について疎くて上手く飲み込めない。筆者の性格のザツさが伺える。

代数の世界

準同型のイメージが少し書いてあった。まだ読んでる途中。

曲面-幾何学基礎講義

曲率円の半径が曲率の逆数になることの証明が書いてあったので借りてみた。

複素関数三幕劇

まだ読んでない。

位相のこころ

森毅つながりで読みたい。

位相30講

そのうち読みたい。

代数学講義

そのうち読みたい。

家には通読してない数学書ばかりでそろそろ手をつけないとなー。以上。