数学雑記

数学など

プランシュレルの定理

講義の担当者の証明が冗長というか分かりにくい気がするので、簡潔にしてみた。

全文はめんどくさいので、とりあえず証明のポイントだけ。

(1){ \displaystyle
f=\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f \
}

{\displaystyle
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \overline{g(x)} dx\
}

{\displaystyle
= \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}f](x) \overline{g(x)} dx\
}

{\displaystyle
= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}f(\xi)e^{ix\xi} d\xi \overline{g(x)}dx\
}

(2)積分順序変換

{\displaystyle
= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}f(\xi)e^{ix\xi}\overline{g(x)}dxd\xi
}

(3){\displaystyle
e^{ix\xi}=\overline{e^{-ix\xi}}
}

{\displaystyle
=\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}f(\xi)\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\overline{e^{-ix\xi}g(x)}dxd\xi
}

(4)バーを積分記号まで伸ばす

{\displaystyle
=\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}f(\xi)\overline{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}g(x)e^{-ix\xi}dx}d\xi
}

{\displaystyle
=\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}f(\xi)\overline{\mathcal{F}g(\xi)}d\xi
}

※(1)で {\displaystyle
f,\mathcal{F}f
} の絶対可積分性が使われ、(2)で {\displaystyle
\mathcal{F}f,g
} の絶対可積分性が使われている。