数学雑記

数学など

代数的数全体の集合の濃度

代数的数とは{\displaystyle \mathbb{Z}}上の多項式の根になっているような複素数のことである。代数的数全体の集合を{\displaystyle\mathcal{A}}と書くことにする。


Cantorにより初めて次が示された。

{\displaystyle |\mathcal{A}|=\aleph_0}

proof

{\displaystyle \exp(\frac{2\pi i}{n})\in\mathcal{A}}より、{\displaystyle \mathcal{A}}は無限集合

{\displaystyle k\in\mathbb{N}}とする。{\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{k}a_ix^i\in\mathbb{Z}[x]}に対し、

{\displaystyle H(f):=k+\sum_{i=0}^{k}|a_i|}と定めると、各{\displaystyle k}に対し、明らかに、

{\displaystyle \mathcal{H}_k:=\left\{f\mid H(f)=k\right\}}は有限集合であり、属する{\displaystyle f}の次数は高々{\displaystyle k}

また、{\displaystyle \mathcal{H}_k}の元で \mathbb{Q}上既約なモニックのもの全体を{\displaystyle \mathcal{H}_k^\ast}とおく

したがって、{\displaystyle \alpha\in\mathcal{A}}の \mathbb{Q}上最小多項式 fに対し, m=H(f)とすれば、 {\displaystyle \mathcal{H}_m^\ast}の{\displaystyle n}個め(順序は適当に決めておく)の元 fの{\displaystyle l }番目(順序は適当に決めておく)の根として区別することができる。これは単射{\displaystyle \mathcal{A}\rightarrow\mathbb{N}^3;\alpha\mapsto(m,n,l)}の存在を示す

ゆえに、可算集合のある無限部分集合への全単射が構成できる{\displaystyle \mathcal{A}}は可算集合である(証明終)