数学雑記

数学など

円分多項式を円分多項式で表す

(n位の)円分多項式(cyclotomic poynomial){\displaystyle \Phi_n(x)} の定義は{\displaystyle \Phi_n(x)=\prod_{1\le d\le n, (k,n)=1}(x-\zeta_n^d)}で与えられ、{\displaystyle x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)}という性質を持ちます。(ただし、\zeta_n=\exp(\frac{2\pi i}{n}))

(この多項式\mathbb{Q}上既約な\mathbb{Z}係数多項式などについては体論の基礎的な書物を参照してください。)

円分多項式は他の円分多項式で表せます。

例を挙げます。

・ケース1

{\displaystyle\Phi_{12}(x)=\frac{\Phi_3(x^4)}{\Phi_3(x^2)},\quad} {\displaystyle\Phi_{18}(x)=\frac{\Phi_9(x^2)}{\Phi_9(x)},\quad} {\displaystyle\Phi_{60}(x)=\frac{\Phi_{15}(x^4)}{\Phi_{15}(x^2)}}

{\displaystyle\Phi_{288}(x)=\frac{\Phi_9(x^{32})}{\Phi_9(x^{16})},\quad} {\displaystyle\Phi_{360}(x)=\frac{\Phi_5(x^{72})\Phi_5(x^{12})}{\Phi_5(x^{36})\Phi_5(x^{24})}}

・ケース2

{\displaystyle\Phi_{12}(x)=\Phi_6(x^2),\quad} {\displaystyle\Phi_{18}(x)=\Phi_6(x^3),\quad} {\displaystyle\Phi_{60}(x)=\Phi_{30}(x^2)}

{\displaystyle\Phi_{288}(x)=\Phi_{36}(x^8),\quad} {\displaystyle\Phi_{360}(x)=\Phi_{60}(x^6)}

・ケース3

{\displaystyle\Phi_{12}(x)=\frac{\Phi_2(x^6)}{\Phi_2(x^2)},\quad} {\displaystyle\Phi_{18}(x)=\frac{\Phi_3(x^6)}{\Phi_3(x^3)},\quad} {\displaystyle\Phi_{60}(x)=\frac{\Phi_2(x^{30})\Phi_2(x^2)}{\Phi_2(x^{10})\Phi_2(x^6)}}

{\displaystyle\Phi_{288}(x)=\frac{\Phi_8(x^{36})}{\Phi_8(x^{12})},\quad} {\displaystyle\Phi_{360}(x)=\frac{\Phi_6(x^{60})}{\Phi_6(x^{12})}}

分母がついてしまうものとそうでないものがあります。それはどんなときで、またどのように表せるのでしょう?

ケース1の種明かしに近い観察を述べると、gcd(3,4)=gcd(5,72)=1,\quad\phi(4)=4-2

\phi(72)=\phi(8)\phi(9)=(8-4)(9-3)=72-36-24+12となっています。

これは去年の6月あたりに(ミニ)研究していたことで、どのように表せるかなどについて証明つきでまとめたPDFがあります(同学科の人と自主ゼミもしました)。分かりにくいところがあるかもしれませんが、興味があればぜひ。

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