体論の期末試験(再現)

問1

(1) $\mathbb{Q}(2\cos\frac{2\pi}{7})/\mathbb{Q}$ がGalois拡大であることを示し、そのGalois群を求めよ

(2) $2\cos\frac{2\pi}{7}$ の $\mathbb{Q}$ 上最小多項式を求めよ

(1) $\zeta_7=\exp(\frac{2\pi i}{7})$ とおくと、 $2\cos\frac{2\pi}{7}=\zeta_7^{}+\zeta_7^{-1}=\zeta_7^{}+\zeta_7^{6}\in\mathbb{Q}(\zeta_7)$

よって、 $M:=\mathbb{Q}(2cos\frac{2\pi}{7})$ は $K:=\mathbb{Q}(\zeta_7)$ の部分体

$K/\mathbb{Q}$ はAbel拡大だから、 $Gal(K/M)\lhd Gal(K/\mathbb{Q})=:G$

よって、 $M/\mathbb{Q}$ はGalois拡大

$O_G(\zeta_7^{}+\zeta_7^{-1}) =\{\zeta_7^{}+\zeta_7^{-1}, \zeta_7^{2}+\zeta_7^{-2}, \zeta_7^{3}+\zeta_7^{-3}\}$ より、 $[M:\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\zeta_7^{}+\zeta_7^{-1}):\mathbb{Q}]=3$

よって、 $Gal(M/\mathbb{Q})\simeq\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$

(2) $(x-\zeta_7^{}-\zeta_7^{-1})(x-\zeta_7^{2}-\zeta_7^{-2})(x-\zeta_7^{3}-\zeta_7^{-3})=x^{3}+x^{2}-2x-1$

問2 $\quad p$ を奇素数とする。

(1) $\mathbb{Q}(\cos\frac{2\pi}{p})/\mathbb{Q}$ がGalois拡大であることを示し、その拡大次数を求めよ。

(2) $\sin\frac{2\pi}{p}=\cos\frac{2\pi(4-p)}{4p}$ であることを利用し、 $[\mathbb{Q}(\sin\frac{2\pi}{p}):\mathbb{Q}]$ を求めよ。

(1) $\mathbb{Q}(\cos\frac{2\pi}{p})=\mathbb{Q}(2\cos\frac{2\pi}{p})$ に注意すると、Galois拡大であることは問1と同様。

$G:=Gal(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q})$ として、 $O_G(\zeta_p^{}+\zeta_p^{-1})=\{\zeta_p^{}+\zeta_p^{-1},\dots,\zeta_p^{p-1}+\zeta_p^{-(p-1)}\}$ $=\{\zeta_p^{}+\zeta_p^{-1},\dots,\zeta_p^{\frac{p-1}{2}}+\zeta_p^{-\frac{p-1}{2}}\}$