Dirichlet級数の一様収束

$a:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{C}$ を数列とするとき、無限級数 $f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{n^s}$ をDirichlet級数という。

このとき、次が知られている。(Janusz, Algebraic Number Fields, Ⅳ§2)

$\sum_{n\le x}a(n)=O(x^b)\quad(b>0)$ なら任意の $\delta,\varepsilon>0$ に対し、 $f(s)$ は領域 $D(b,\delta,\varepsilon):=\{s\mid Re(s)\ge b+\delta, |arg(s-b)|\le\frac{\pi}{2}-\varepsilon\}$ において一様収束する。

具体的には任意の $u,v\in\mathbb{N}(v\ge u+1)$ に対し、 $b,\delta,\varepsilon$ に依存する定数 $M(b,\delta ,\varepsilon)$ が存在して $\lvert\sum_{n=u}^{v}\frac{a(n)}{n^s}\rvert\le\frac{M(b,\delta,\varepsilon)}{u^\delta}$

つまり、コーシーの条件を満たしているから、収束していて

$\sup_{s\in D(b,\delta,\varepsilon)}\lvert\sum_{n=u}^{\infty}\frac{a(n)}{n^s}\rvert\le\frac{M(b,\delta,\varepsilon)}{u^\delta}\rightarrow0\;(u\to\infty)$

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