√20171230
の連分数展開をCで計算しました。(注:20171230はsquarefree)
ただし、連分数1/(2+1/(3+1/(1+1)))を[0;2,3,1]と表し、「|…|」は…が循環節であることを表します。
[4491;|4,5,1,1,3,2,2,2,1,63,1,10,1,4,1,1,9,1,7,1,4,5,2,1,10,5,3,8,1,1,4,1,55,1,2,13,1,11,1,11,1,1,6,1,1,
85,84,1,2,1,2,5,1,1,5,2,6,1,3,1,3,1,2,1,1,2,4,2,12,4,1,1,6,10,1,1,1,1,1,1,1,1,5,3,5,1,4,1496,1,6,1,7,1,5,
2,19,1,9,1,4,1,1,7,3,15,3,30,8,7,7,1,52,3,1,1,1,8,1,3,1,1,8,1,18,2,1,1,1,2,3,3,128,56,2,17,12,10,4,2,1,
6,12,7,4,1,1,6,1,2,3,2,6,1,2,1,12,3,1,7,8,2,997,1,1,2,1,1,5,4,2,1,29,1,6,4,1,2,3,7,1,9,1,1,4,4,1,5,1,5,3,1,
4,1,1,1,8,4,1,2,2,5,1,5,1,3,1,3,12,1,1,2,2,1,1,1,6,1,84,1,2,9,12,2,1,5,1,1,5,1,1,1,6,40,2,43,3,10,1,1,5,5,
22,1,1,4,1,3,2,1,12,4,166,10,3,3,1,6,183,5,1,17,1,11,2,1,3,1,6,3,4,4,5,1,3,10,5,1,4,4,1,2,4,4,5,5,1,1,1,
1,1,2,17,1,10,2,13,1,3,1,1,5,1,2,1,1,2,1,1,1,3,2,1,3,3,1,3,1,2,6,2,2,2,6,1,7,1,6,2,1,3,7,1,1,3,3,1,7,6,2,8,
6,110,1,2,1,2,1,1,1,1,40,30,1,1,8,2,2,1,1,1,7,1,1,2,1,41,1,5,1,6,8,1,14,1,3,7,3,7,1,5,1,7,3,1,2,1,15,2,1,
67,1,8,1,1,12,9,3,14,1,1,1,1,1,23,1,2,1,1,3,1,16,1,3,1,12,3,2,1,1,1,46,2,1,1,46,1,12,1,2,1,3,2,1,17,1,3,
1,2,1,2,3,2,6,2,1,19,1,2,5,1,1,1,1,2,3,2,1,2,8,6,1,40,6,2,1,1,9,1,5,4,1,7,3,9,1,4,1,1,21,1,1,1,2,1,1,1,1,10,
1,4,2,3,18,1,1,1,18,2,2,3,2,36,12,1,3,1,2,7,1,1,8,5,15,1,6,1,8,1,70,2,1,1,3,1,2,1,7,12,5,5,22,1,3,1,1,3,
1,2,1,1,1,1,2,4,1,2,1,1,5,16,1,2,1,3,1,60,1,2,1,3,3,2,36,4,2,1,4,6,1,1,4,1,32,2,4,2,2,7,4,1,2,1,112,1,27,1,
1,1,1,1,1,218,2,7,1,1,1,2,2,1,2,2,1,30,2,1,1,1,4,1,1,2,427,2,1,9,11,1,1,1,1,1,7,3,2,1,3,7,1,2,5,2,13,7,1,
1,2,1,3,25,9,1,1,40,2,23,1,2,1,1,5,1,1,6,28,1,10,1,198,1,2,3,1,2,2,1,6,1,1,1,1,1,18,3,18,1,2,1,9,36,2,2,
3,15,4,1,1,4,2,4,1,2,1,2,3,11,641,1,1,14,7,1,2,1,46,1,3,1,1,1,3,18,10,1,1,2,1,4,2,1,1,1,1,151,1,1,1,2,2,
6,2,2,2,3,1,1,1,1,1,2,3,1,2,4,43,2,1,2,299,24,4,1,4,12,12,1,1,4,2,1,22,2,2,23,1,15,1,22,3,29,1,2,2,17,
1,16,427,1,2,9,2,2,1,1,1,1,70,1,2,10,1,26,1,1,1,3,1,4,4,1,1,14,1,24,2,3,1,1,3,4,3,1,1,1,1,2,12,1,1,5,1,1,
4,1,28,4,1796,4,28,1,4,1,1,5,1,1,12,2,1,1,1,1,3,4,3,1,1,3,2,24,1,14,1,1,4,4,1,3,1,1,1,26,1,10,2,1,70,1,1,
1,1,2,2,9,2,1,427,16,1,17,2,2,1,29,3,22,1,15,1,23,2,2,22,1,2,4,1,1,12,12,4,1,4,24,299,2,1,2,43,4,2,1,
3,2,1,1,1,1,1,3,2,2,2,6,2,2,1,1,1,151,1,1,1,1,2,4,1,2,1,1,10,18,3,1,1,1,3,1,46,1,2,1,7,14,1,1,641,11,3,2,
1,2,1,4,2,4,1,1,4,15,3,2,2,36,9,1,2,1,18,3,18,1,1,1,1,1,6,1,2,2,1,3,2,1,198,1,10,1,28,6,1,1,5,1,1,2,1,23,
2,40,1,1,9,25,3,1,2,1,1,7,13,2,5,2,1,7,3,1,2,3,7,1,1,1,1,1,11,9,1,2,427,2,1,1,4,1,1,1,2,30,1,2,2,1,2,2,1,
1,1,7,2,218,1,1,1,1,1,1,27,1,112,1,2,1,4,7,2,2,4,2,32,1,4,1,1,6,4,1,2,4,36,2,3,3,1,2,1,60,1,3,1,2,1,16,5,
1,1,2,1,4,2,1,1,1,1,2,1,3,1,1,3,1,22,5,5,12,7,1,2,1,3,1,1,2,70,1,8,1,6,1,15,5,8,1,1,7,2,1,3,1,12,36,2,3,2,
2,18,1,1,1,18,3,2,4,1,10,1,1,1,1,2,1,1,1,21,1,1,4,1,9,3,7,1,4,5,1,9,1,1,2,6,40,1,6,8,2,1,2,3,2,1,1,1,1,5,2,
1,19,1,2,6,2,3,2,1,2,1,3,1,17,1,2,3,1,2,1,12,1,46,1,1,2,46,1,1,1,2,3,12,1,3,1,16,1,3,1,1,2,1,23,1,1,1,1,
1,14,3,9,12,1,1,8,1,67,1,2,15,1,2,1,3,7,1,5,1,7,3,7,3,1,14,1,8,6,1,5,1,41,1,2,1,1,7,1,1,1,2,2,8,1,1,30,40,
1,1,1,1,2,1,2,1,110,6,8,2,6,7,1,3,3,1,1,7,3,1,2,6,1,7,1,6,2,2,2,6,2,1,3,1,3,3,1,2,3,1,1,1,2,1,1,2,1,5,1,1,3,
1,13,2,10,1,17,2,1,1,1,1,1,5,5,4,4,2,1,4,4,1,5,10,3,1,5,4,4,3,6,1,3,1,2,11,1,17,1,5,183,6,1,3,3,10,166,
4,12,1,2,3,1,4,1,1,22,5,5,1,1,10,3,43,2,40,6,1,1,1,5,1,1,5,1,2,12,9,2,1,84,1,6,1,1,1,2,2,1,1,12,3,1,3,1,5,
1,5,2,2,1,4,8,1,1,1,4,1,3,5,1,5,1,4,4,1,1,9,1,7,3,2,1,4,6,1,29,1,2,4,5,1,1,2,1,1,997,2,8,7,1,3,12,1,2,1,6,
2,3,2,1,6,1,1,4,7,12,6,1,2,4,10,12,17,2,56,128,3,3,2,1,1,1,2,18,1,8,1,1,3,1,8,1,1,1,3,52,1,7,7,8,30,3,15,
3,7,1,1,4,1,9,1,19,2,5,1,7,1,6,1,1496,4,1,5,3,5,1,1,1,1,1,1,1,1,10,6,1,1,4,12,2,4,2,1,1,2,1,3,1,3,1,6,2,5,
1,1,5,2,1,2,1,84,85,1,1,6,1,1,11,1,11,1,13,2,1,55,1,4,1,1,8,3,5,10,1,2,5,4,1,7,1,9,1,1,4,1,10,1,63,1,2,2,2,3,1,1,5,4,8982|]
数字が並びすぎて気持ち悪いですね。ここから、 の基本単数を求めたら、何桁になるのか……
ちなみに、これより遥かに短い連分数展開を持つ に対し、 ([44;|1,10,4,5,2,1,2,2,2,3,3,29,1,1,1,3,12,1,1,3,1,3,7,1,9,9,1,7,3,1,3,1,1,12,3,1,1,1,29,3,3,2,2,2,1,2,5,4,10,1,88|])
の基本単数(の1つ)は
です。
というか、 の連分数展開でも、手計算で求めたときはかなり時間が掛かったのに、 の連分数展開をCでコンピュータに計算させると、たったの数秒。コンピュータの処理能力を改めて感じました。
Dirichlet級数の一様収束
を数列とするとき、無限級数 をDirichlet級数という。
このとき、次が知られている。(Janusz, Algebraic Number Fields, Ⅳ§2)
なら任意の に対し、 は領域 において一様収束する。
具体的には任意の に対し、 に依存する定数 が存在して
つまり、コーシーの条件を満たしているから、収束していて
お世話になった(なっている)解析系の数学書
微積分
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院試の勉強として薄めの本で復習したいと思って半分くらい読んだ本。
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フーリエ解析の本欲しいなと思って買った本。
ベクトル解析
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B3のときの自主ゼミメンバーがベクトル解析やってたので、自分で薄いので勉強し直したいなと思って読んだ本。ベクトル値関数の積分をちゃんと定義していて好感が持てた。
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B3の講義の参考書として参照した。
- 作者: Rudin
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志村五郎の文庫本で存在を知り、第1章読めばルベーグ積分の本質が掴めるとAmazonのカスタマーレビューにあったので、B4の1~2月に学び直しで読んだ本。位相空間の連続関数と測度空間の可測関数の対比が目から鱗だった。
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ガウスの類数1問題についてのメモ
ガウスによって予想された類数についての問題がある.
これは整数論の多くの本で「1967年にBakerとStarkが独立に証明した」と載っていて、Baker-Starkの定理と呼ぶものもある。
しかし、それ以前にも実はHeegnerという人が証明をしている。ただ、その証明が拠り所とする主張にはギャップがあり、当時は受け入れられなかった。
結果としてはBakerやStarkが完全な証明をしたので、BakerとStarkの名前を付けるのは至極当然だが、それ以前にも証明をした人はいたという事実は歴史として頭に留めておいても損はないと思う。
参考文献
H.M.Stark, On the “Gap” in a Theorem of Heegner, Journal of Number Theory vol.1(1969), p16–27
一般電卓で正の数の三乗根
・図書室で読んだ本に面白いことが書いてあった.
それは普通の電卓で三乗根(の近似値)を計算するというものだった.普通の電卓というのは三角関数などの機能もない100円ショップで手に入るような極めて身近な電卓である.
・その計算方法
① 1を入力
② 2をかける
③「√ 」のボタンを2回続けて連打
④ ②,③の操作をもう一回
⑤ ④の操作を1セットをしても値が変わらなくなるまで、④を繰り返す
⑥ 値が変わらなくなったときの値が である
手元の電卓で実際にやってみる
となったから,
実際に三乗を計算すると, で の近似値と言える.
・以降、三乗根の近似値が求まる原理を数学的に書いていく
2をかけて2回√ をとるという一連の操作が 回行われたときの値を とおくと,
であり, となる
よって,
この漸化式を解くと,
つまり, だから, 数列 は に 収束する.
この証明から②の「2をかける」の部分を「3をかける」や「5をかける」に変えれば,それぞれ の近似値が得られる.
・感想
確かめてみると原理に何も疑うところはないのだが、三乗根は電卓のルート計算で求められるという発想がなかったので、新鮮だった.
・参考文献
数理解析研究所講究録1920 RIMS共同研究 「数学教師に必要な数学能力の育成法に関する研究」p113 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/1920.html