数学雑記

数学など

Dirichlet級数の一様収束

a:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{C}を数列とするとき、無限級数 f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{n^s} をDirichlet級数という。

このとき、次が知られている。(Janusz, Algebraic Number Fields, Ⅳ§2)

\sum_{n\le x}a(n)=O(x^b)\quad(b>0)なら任意の \delta,\varepsilon>0 に対し、 f(s) は領域 D(b,\delta,\varepsilon):=\{s\mid Re(s)\ge b+\delta, |arg(s-b)|\le\frac{\pi}{2}-\varepsilon\} において一様収束する。

具体的には任意の u,v\in\mathbb{N}(v\ge u+1) に対し、 b,\delta,\varepsilon に依存する定数 M(b,\delta
,\varepsilon) が存在して \lvert\sum_{n=u}^{v}\frac{a(n)}{n^s}\rvert\le\frac{M(b,\delta,\varepsilon)}{u^\delta}

つまり、コーシーの条件を満たしているから、収束していて

\sup_{s\in D(b,\delta,\varepsilon)}\lvert\sum_{n=u}^{\infty}\frac{a(n)}{n^s}\rvert\le\frac{M(b,\delta,\varepsilon)}{u^\delta}\rightarrow0\;(u\to\infty)

お世話になった(なっている)解析系の数学書

微積

微積分の基礎 (現代基礎数学)

微積分の基礎 (現代基礎数学)

B1のときの講義のテキスト。大学の微積分について初めて読んだ本。やはり今の基礎となっている。

微分積分学 (サイエンスライブラリ―数学)

微分積分学 (サイエンスライブラリ―数学)

B2の講義の演習でつまった問題(ディニの定理の証明)のヒントを求めて辿り着いた本。値段の割に内容が豊富で良コスパ

解析全般

定本 解析概論

定本 解析概論

数学科ならほぼ全員知っているであろう解析学のバイブル。

微分方程式

新微分方程式対話 (日評数学選書)

新微分方程式対話 (日評数学選書)

微分方程式について習って間もない頃に読んでた記憶がある。

OD>常微分方程式入門―基礎から応用へ (岩波オンデマンドブックス)

OD>常微分方程式入門―基礎から応用へ (岩波オンデマンドブックス)

B3のときの常微分方程式の講義でテキストとして存在性定理の部分など読んだ。

複素解析

複素数30講 (数学30講シリーズ)

複素数30講 (数学30講シリーズ)

ゼータ関数知るには複素関数論が必要らしいということでB2の夏休みに読んでた本。

複素関数入門 (現代数学への入門)

複素関数入門 (現代数学への入門)

B2の複素関数論の講義のテキスト。

複素解析 (プリンストン解析学講義)

複素解析 (プリンストン解析学講義)

複素解析のもう少し本格的な本をと思って買った本。楕円関数の参考書としても参照。

複素関数論の要諦[新装版]

複素関数論の要諦[新装版]

院試の勉強として薄めの本で復習したいと思って半分くらい読んだ本。

フーリエ解析

フーリエ解析の本欲しいなと思って買った本。

ベクトル解析

ベクトル解析 (サイエンスライブラリ―理工系の数学)

ベクトル解析 (サイエンスライブラリ―理工系の数学)

B3のときの自主ゼミメンバーがベクトル解析やってたので、自分で薄いので勉強し直したいなと思って読んだ本。ベクトル値関数の積分をちゃんと定義していて好感が持てた。

ルベーグ積分

B3の講義の参考書として参照した。

Real & Complex Analysis

Real & Complex Analysis

志村五郎の文庫本で存在を知り、第1章読めばルベーグ積分の本質が掴めるとAmazonのカスタマーレビューにあったので、B4の1~2月に学び直しで読んだ本。位相空間の連続関数と測度空間の可測関数の対比が目から鱗だった。

ルベグ積分入門 Math&Science (ちくま学芸文庫)

ルベグ積分入門 Math&Science (ちくま学芸文庫)

ルベーグ積分の本1冊くらい手元にと思って買った本。

体論の期末試験(再現)

問1

(1) \mathbb{Q}(2\cos\frac{2\pi}{7})/\mathbb{Q}がGalois拡大であることを示し、そのGalois群を求めよ

(2) 2\cos\frac{2\pi}{7}\mathbb{Q}上最小多項式を求めよ

(1) \zeta_7=\exp(\frac{2\pi i}{7})とおくと、2\cos\frac{2\pi}{7}=\zeta_7^{}+\zeta_7^{-1}=\zeta_7^{}+\zeta_7^{6}\in\mathbb{Q}(\zeta_7)

よって、M:=\mathbb{Q}(2cos\frac{2\pi}{7})K:=\mathbb{Q}(\zeta_7)の部分体

K/\mathbb{Q}はAbel拡大だから、Gal(K/M)\lhd Gal(K/\mathbb{Q})=:G

よって、M/\mathbb{Q}はGalois拡大

O_G(\zeta_7^{}+\zeta_7^{-1})
=\{\zeta_7^{}+\zeta_7^{-1},
\zeta_7^{2}+\zeta_7^{-2},
\zeta_7^{3}+\zeta_7^{-3}\}より、[M:\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\zeta_7^{}+\zeta_7^{-1}):\mathbb{Q}]=3

よって、Gal(M/\mathbb{Q})\simeq\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}

(2)(x-\zeta_7^{}-\zeta_7^{-1})(x-\zeta_7^{2}-\zeta_7^{-2})(x-\zeta_7^{3}-\zeta_7^{-3})=x^{3}+x^{2}-2x-1

問2 \quad pを奇素数とする。

(1)\mathbb{Q}(\cos\frac{2\pi}{p})/\mathbb{Q}がGalois拡大であることを示し、その拡大次数を求めよ。

(2)\sin\frac{2\pi}{p}=\cos\frac{2\pi(4-p)}{4p}であることを利用し、[\mathbb{Q}(\sin\frac{2\pi}{p}):\mathbb{Q}]を求めよ。

(1) \mathbb{Q}(\cos\frac{2\pi}{p})=\mathbb{Q}(2\cos\frac{2\pi}{p})に注意すると、Galois拡大であることは問1と同様。

G:=Gal(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q})として、O_G(\zeta_p^{}+\zeta_p^{-1})=\{\zeta_p^{}+\zeta_p^{-1},\dots,\zeta_p^{p-1}+\zeta_p^{-(p-1)}\} =\{\zeta_p^{}+\zeta_p^{-1},\dots,\zeta_p^{\frac{p-1}{2}}+\zeta_p^{-\frac{p-1}{2}}\}

よって、[\mathbb{Q}(\cos\frac{2\pi}{p}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(2\cos\frac{2\pi}{p}):\mathbb{Q}]=\frac{p-1}{2}

(2) O_G(2\sin\frac{2\pi}{p})=\{\zeta_{4p}^{(4-p)k}+\zeta_{4p}^{-(4-p)k}\mid\gcd(4p,k)=1\}

\gcd(4p,4-p)=1だから、

=\{\zeta_{4p}^{k}+\zeta_{4p}^{-k}\mid\gcd(4p,k)=1\}

\zeta_{4p}^{4p-k}+\zeta_{4p}^{-(4p-k)}=\zeta_{4p}^{k}+\zeta_{4p}^{-k}だから

=\{\zeta_{4p}^{k}+\zeta_{4p}^{-k}\mid\gcd(4p,k)=1,1\le k\le 2p\}

1\le k_1<k_2\le 2pのとき、\cos\frac{2k_1\pi}{4p}\neq\cos\frac{2k_2\pi}{4p}だから、

[\mathbb{Q}(\sin\frac{2\pi}{p}):\mathbb{Q}]

=[\mathbb{Q}(2\sin\frac{2\pi}{p}):\mathbb{Q}]

=|O_G(2\sin\frac{2\pi}{p})|

=\frac{|(\mathbb{Z}/4p\mathbb{Z})^{\times}|}{2}=p-1

ガウスの類数1問題についてのメモ

ガウスによって予想された類数についての問題がある.

\quad m\text{を平方因子を持たない正整数とするとき、}

\quad\text{虚二次体}\mathbb{Q}(\sqrt{-m})\text{の類数が1となるのは}

\quad m=1,2,3,7,11,19,43,67,163\text{に限る}

これは整数論の多くの本で「1967年にBakerとStarkが独立に証明した」と載っていて、Baker-Starkの定理と呼ぶものもある。

しかし、それ以前にも実はHeegnerという人が証明をしている。ただ、その証明が拠り所とする主張にはギャップがあり、当時は受け入れられなかった。

結果としてはBakerやStarkが完全な証明をしたので、BakerとStarkの名前を付けるのは至極当然だが、それ以前にも証明をした人はいたという事実は歴史として頭に留めておいても損はないと思う。



参考文献

H.M.Stark, On the “Gap” in a Theorem of Heegner, Journal of Number Theory vol.1(1969), p16–27

円分多項式を円分多項式で表す

(n位の)円分多項式(cyclotomic poynomial){\displaystyle \Phi_n(x)} の定義は{\displaystyle \Phi_n(x)=\prod_{1\le d\le n, (k,n)=1}(x-\zeta_n^d)}で与えられ、{\displaystyle x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)}という性質を持ちます。(ただし、\zeta_n=\exp(\frac{2\pi i}{n}))

(この多項式\mathbb{Q}上既約な\mathbb{Z}係数多項式などについては体論の基礎的な書物を参照してください。)

円分多項式は他の円分多項式で表せます。

例を挙げます。

・ケース1

{\displaystyle\Phi_{12}(x)=\frac{\Phi_3(x^4)}{\Phi_3(x^2)},\quad} {\displaystyle\Phi_{18}(x)=\frac{\Phi_9(x^2)}{\Phi_9(x)},\quad} {\displaystyle\Phi_{60}(x)=\frac{\Phi_{15}(x^4)}{\Phi_{15}(x^2)}}

{\displaystyle\Phi_{288}(x)=\frac{\Phi_9(x^{32})}{\Phi_9(x^{16})},\quad} {\displaystyle\Phi_{360}(x)=\frac{\Phi_5(x^{72})\Phi_5(x^{12})}{\Phi_5(x^{36})\Phi_5(x^{24})}}

・ケース2

{\displaystyle\Phi_{12}(x)=\Phi_6(x^2),\quad} {\displaystyle\Phi_{18}(x)=\Phi_6(x^3),\quad} {\displaystyle\Phi_{60}(x)=\Phi_{30}(x^2)}

{\displaystyle\Phi_{288}(x)=\Phi_{36}(x^8),\quad} {\displaystyle\Phi_{360}(x)=\Phi_{60}(x^6)}

・ケース3

{\displaystyle\Phi_{12}(x)=\frac{\Phi_2(x^6)}{\Phi_2(x^2)},\quad} {\displaystyle\Phi_{18}(x)=\frac{\Phi_3(x^6)}{\Phi_3(x^3)},\quad} {\displaystyle\Phi_{60}(x)=\frac{\Phi_2(x^{30})\Phi_2(x^2)}{\Phi_2(x^{10})\Phi_2(x^6)}}

{\displaystyle\Phi_{288}(x)=\frac{\Phi_8(x^{36})}{\Phi_8(x^{12})},\quad} {\displaystyle\Phi_{360}(x)=\frac{\Phi_6(x^{60})}{\Phi_6(x^{12})}}

分母がついてしまうものとそうでないものがあります。それはどんなときで、またどのように表せるのでしょう?

ケース1の種明かしに近い観察を述べると、gcd(3,4)=gcd(5,72)=1,\quad\phi(4)=4-2

\phi(72)=\phi(8)\phi(9)=(8-4)(9-3)=72-36-24+12となっています。

これは去年の6月あたりに(ミニ)研究していたことで、どのように表せるかなどについて証明つきでまとめたPDFがあります(同学科の人と自主ゼミもしました)。分かりにくいところがあるかもしれませんが、興味があればぜひ。

www.dropbox.com

代数的数全体の集合の濃度

代数的数とは{\displaystyle \mathbb{Z}}上の多項式の根になっているような複素数のことである。代数的数全体の集合を{\displaystyle\mathcal{A}}と書くことにする。


Cantorにより初めて次が示された。

{\displaystyle |\mathcal{A}|=\aleph_0}

proof

{\displaystyle \exp(\frac{2\pi i}{n})\in\mathcal{A}}より、{\displaystyle \mathcal{A}}は無限集合

{\displaystyle k\in\mathbb{N}}とする。{\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{k}a_ix^i\in\mathbb{Z}[x]}に対し、

{\displaystyle H(f):=k+\sum_{i=0}^{k}|a_i|}と定めると、各{\displaystyle k}に対し、明らかに、

{\displaystyle \mathcal{H}_k:=\left\{f\mid H(f)=k\right\}}は有限集合であり、属する{\displaystyle f}の次数は高々{\displaystyle k}

また、{\displaystyle \mathcal{H}_k}の元で \mathbb{Q}上既約なモニックのもの全体を{\displaystyle \mathcal{H}_k^\ast}とおく

したがって、{\displaystyle \alpha\in\mathcal{A}} \mathbb{Q}上最小多項式 fに対し,  m=H(f)とすれば、 {\displaystyle \mathcal{H}_m^\ast}{\displaystyle n}個め(順序は適当に決めておく)の元 f{\displaystyle l }番目(順序は適当に決めておく)の根として区別することができる。これは単射{\displaystyle \mathcal{A}\rightarrow\mathbb{N}^3;\alpha\mapsto(m,n,l)}の存在を示す

ゆえに、可算集合のある無限部分集合への全単射が構成できる{\displaystyle \mathcal{A}}可算集合である(証明終)

一般電卓で正の数の三乗根

図書室で読んだ本に面白いことが書いてあった.

それは普通の電卓で三乗根(の近似値)を計算するというものだった.普通の電卓というのは三角関数などの機能もない100円ショップで手に入るような極めて身近な電卓である.

・その計算方法

① 1を入力

② 2をかける

③「√ 」のボタンを2回続けて連打

④ ②,③の操作をもう一回

⑤ ④の操作を1セットをしても値が変わらなくなるまで、④を繰り返す

⑥ 値が変わらなくなったときの値が {\displaystyle \sqrt[3]{2}} である

手元の電卓で実際にやってみる

{\displaystyle 1\overset{\times2}{\rightarrow}2\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.4142135\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.189207}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.378414\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5422107\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2418577}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.4837154\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5759807\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2553806}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5107612\overset{\sqrt{\,}}{\rightarrow}1.5845381\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2587843}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5175686\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5866847\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2596367}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5192734\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5872219\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2598499}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5196998\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5873562\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599032}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198064\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5873898\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599165}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.519833\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5873981\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599198}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198396\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5874002\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599207}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198414\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5874008\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599209}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198418\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5874009\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599209}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198418\rightarrow\cdots}

となったから, {\displaystyle \sqrt[3]{2}\fallingdotseq1.2599209}

実際に三乗を計算すると, {\displaystyle 1.2599209^3=1.99999928617}{\displaystyle \sqrt[3]{2}} の近似値と言える.

・以降、三乗根の近似値が求まる原理を数学的に書いていく

2をかけて2回√ をとるという一連の操作が {\displaystyle n} 回行われたときの値を {\displaystyle a_n} とおくと,

{\displaystyle a_0=1} であり, {\displaystyle a_{n+1}=\sqrt{\sqrt{2a_n}}}となる

よって, {\displaystyle \log a_{n+1}=\frac{1}{4}\log2a_n=\frac{1}{4}(\log a_n+\log2)}

この漸化式を解くと, {\displaystyle \log a_n=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{4^n})\log2}

つまり, {\displaystyle a_n=2^{\frac{1}{3}(1-\frac{1}{4^n})}\rightarrow 2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}(n\rightarrow\infty)} だから, 数列 {\displaystyle {a_n}}{\displaystyle \sqrt[3]{2}} に 収束する.

この証明から②の「2をかける」の部分を「3をかける」や「5をかける」に変えれば,それぞれ {\displaystyle \sqrt[3]{3},\sqrt[3]{5}} の近似値が得られる.

・感想

確かめてみると原理に何も疑うところはないのだが、三乗根は電卓のルート計算で求められるという発想がなかったので、新鮮だった.

・参考文献

数理解析研究所講究録1920 RIMS共同研究 「数学教師に必要な数学能力の育成法に関する研究」p113 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/1920.html