数学雑記

数学など

体論の期末試験(再現)

問1

(1) \mathbb{Q}(2\cos\frac{2\pi}{7})/\mathbb{Q}がGalois拡大であることを示し、そのGalois群を求めよ

(2) 2\cos\frac{2\pi}{7}\mathbb{Q}上最小多項式を求めよ

(1) \zeta_7=\exp(\frac{2\pi i}{7})とおくと、2\cos\frac{2\pi}{7}=\zeta_7^{}+\zeta_7^{-1}=\zeta_7^{}+\zeta_7^{6}\in\mathbb{Q}(\zeta_7)

よって、M:=\mathbb{Q}(2cos\frac{2\pi}{7})K:=\mathbb{Q}(\zeta_7)の部分体

K/\mathbb{Q}はAbel拡大だから、Gal(K/M)\lhd Gal(K/\mathbb{Q})=:G

よって、M/\mathbb{Q}はGalois拡大

O_G(\zeta_7^{}+\zeta_7^{-1})
=\{\zeta_7^{}+\zeta_7^{-1},
\zeta_7^{2}+\zeta_7^{-2},
\zeta_7^{3}+\zeta_7^{-3}\}より、[M:\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\zeta_7^{}+\zeta_7^{-1}):\mathbb{Q}]=3

よって、Gal(M/\mathbb{Q})\simeq\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}

(2)(x-\zeta_7^{}-\zeta_7^{-1})(x-\zeta_7^{2}-\zeta_7^{-2})(x-\zeta_7^{3}-\zeta_7^{-3})=x^{3}+x^{2}-2x-1

問2 \quad pを奇素数とする。

(1)\mathbb{Q}(\cos\frac{2\pi}{p})/\mathbb{Q}がGalois拡大であることを示し、その拡大次数を求めよ。

(2)\sin\frac{2\pi}{p}=\cos\frac{2\pi(4-p)}{4p}であることを利用し、[\mathbb{Q}(\sin\frac{2\pi}{p}):\mathbb{Q}]を求めよ。

(1) \mathbb{Q}(\cos\frac{2\pi}{p})=\mathbb{Q}(2\cos\frac{2\pi}{p})に注意すると、Galois拡大であることは問1と同様。

G:=Gal(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q})として、O_G(\zeta_p^{}+\zeta_p^{-1})=\{\zeta_p^{}+\zeta_p^{-1},\dots,\zeta_p^{p-1}+\zeta_p^{-(p-1)}\} =\{\zeta_p^{}+\zeta_p^{-1},\dots,\zeta_p^{\frac{p-1}{2}}+\zeta_p^{-\frac{p-1}{2}}\}

よって、[\mathbb{Q}(\cos\frac{2\pi}{p}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(2\cos\frac{2\pi}{p}):\mathbb{Q}]=\frac{p-1}{2}

(2) O_G(2\sin\frac{2\pi}{p})=\{\zeta_{4p}^{(4-p)k}+\zeta_{4p}^{-(4-p)k}\mid\gcd(4p,k)=1\}

\gcd(4p,4-p)=1だから、

=\{\zeta_{4p}^{k}+\zeta_{4p}^{-k}\mid\gcd(4p,k)=1\}

\zeta_{4p}^{4p-k}+\zeta_{4p}^{-(4p-k)}=\zeta_{4p}^{k}+\zeta_{4p}^{-k}だから

=\{\zeta_{4p}^{k}+\zeta_{4p}^{-k}\mid\gcd(4p,k)=1,1\le k\le 2p\}

1\le k_1<k_2\le 2pのとき、\cos\frac{2k_1\pi}{4p}\neq\cos\frac{2k_2\pi}{4p}だから、

[\mathbb{Q}(\sin\frac{2\pi}{p}):\mathbb{Q}]

=[\mathbb{Q}(2\sin\frac{2\pi}{p}):\mathbb{Q}]

=|O_G(2\sin\frac{2\pi}{p})|

=\frac{|(\mathbb{Z}/4p\mathbb{Z})^{\times}|}{2}=p-1

ガウスの類数1問題についてのメモ

ガウスによって予想された類数についての問題がある.

\quad m\text{を平方因子を持たない正整数とするとき、}

\quad\text{虚二次体}\mathbb{Q}(\sqrt{-m})\text{の類数が1となるのは}

\quad m=1,2,3,7,11,19,43,67,163\text{に限る}

これは整数論の多くの本で「1967年にBakerとStarkが独立に証明した」と載っていて、Baker-Starkの定理と呼ぶものもある。

しかし、それ以前にも実はHeegnerという人が証明をしている。ただ、その証明が拠り所とする主張にはギャップがあり、当時は受け入れられなかった。

結果としてはBakerやStarkが完全な証明をしたので、BakerとStarkの名前を付けるのは至極当然だが、それ以前にも証明をした人はいたという事実は歴史として頭に留めておいても損はないと思う。



参考文献

H.M.Stark, On the “Gap” in a Theorem of Heegner, Journal of Number Theory vol.1(1969), p16–27

円分多項式を円分多項式で表す

(n位の)円分多項式(cyclotomic poynomial){\displaystyle \Phi_n(x)} の定義は{\displaystyle \Phi_n(x)=\prod_{1\le d\le n, (k,n)=1}(x-\zeta_n^d)}で与えられ、{\displaystyle x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)}という性質を持ちます。(ただし、\zeta_n=\exp(\frac{2\pi i}{n}))

(この多項式\mathbb{Q}上既約な\mathbb{Z}係数多項式などについては体論の基礎的な書物を参照してください。)

円分多項式は他の円分多項式で表せます。

例を挙げます。

・ケース1

{\displaystyle\Phi_{12}(x)=\frac{\Phi_3(x^4)}{\Phi_3(x^2)},\quad} {\displaystyle\Phi_{18}(x)=\frac{\Phi_9(x^2)}{\Phi_9(x)},\quad} {\displaystyle\Phi_{60}(x)=\frac{\Phi_{15}(x^4)}{\Phi_{15}(x^2)}}

{\displaystyle\Phi_{288}(x)=\frac{\Phi_9(x^{32})}{\Phi_9(x^{16})},\quad} {\displaystyle\Phi_{360}(x)=\frac{\Phi_5(x^{72})\Phi_5(x^{12})}{\Phi_5(x^{36})\Phi_5(x^{24})}}

・ケース2

{\displaystyle\Phi_{12}(x)=\Phi_6(x^2),\quad} {\displaystyle\Phi_{18}(x)=\Phi_6(x^3),\quad} {\displaystyle\Phi_{60}(x)=\Phi_{30}(x^2)}

{\displaystyle\Phi_{288}(x)=\Phi_{36}(x^8),\quad} {\displaystyle\Phi_{360}(x)=\Phi_{60}(x^6)}

・ケース3

{\displaystyle\Phi_{12}(x)=\frac{\Phi_2(x^6)}{\Phi_2(x^2)},\quad} {\displaystyle\Phi_{18}(x)=\frac{\Phi_3(x^6)}{\Phi_3(x^3)},\quad} {\displaystyle\Phi_{60}(x)=\frac{\Phi_2(x^{30})\Phi_2(x^2)}{\Phi_2(x^{10})\Phi_2(x^6)}}

{\displaystyle\Phi_{288}(x)=\frac{\Phi_8(x^{36})}{\Phi_8(x^{12})},\quad} {\displaystyle\Phi_{360}(x)=\frac{\Phi_6(x^{60})}{\Phi_6(x^{12})}}

分母がついてしまうものとそうでないものがあります。それはどんなときで、またどのように表せるのでしょう?

ケース1の種明かしに近い観察を述べると、gcd(3,4)=gcd(5,72)=1,\quad\phi(4)=4-2

\phi(72)=\phi(8)\phi(9)=(8-4)(9-3)=72-36-24+12となっています。

これは去年の6月あたりに(ミニ)研究していたことで、どのように表せるかなどについて証明つきでまとめたPDFがあります(同学科の人と自主ゼミもしました)。分かりにくいところがあるかもしれませんが、興味があればぜひ。

www.dropbox.com

代数的数全体の集合の濃度

代数的数とは{\displaystyle \mathbb{Z}}上の多項式の根になっているような複素数のことである。代数的数全体の集合を{\displaystyle\mathcal{A}}と書くことにする。


Cantorにより初めて次が示された。

{\displaystyle |\mathcal{A}|=\aleph_0}

proof

{\displaystyle \exp(\frac{2\pi i}{n})\in\mathcal{A}}より、{\displaystyle \mathcal{A}}は無限集合

{\displaystyle k\in\mathbb{N}}とする。{\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{k}a_ix^i\in\mathbb{Z}[x]}に対し、

{\displaystyle H(f):=k+\sum_{i=0}^{k}|a_i|}と定めると、各{\displaystyle k}に対し、明らかに、

{\displaystyle \mathcal{H}_k:=\left\{f\mid H(f)=k\right\}}は有限集合であり、属する{\displaystyle f}の次数は高々{\displaystyle k}

また、{\displaystyle \mathcal{H}_k}の元で \mathbb{Q}上既約なモニックのもの全体を{\displaystyle \mathcal{H}_k^\ast}とおく

したがって、{\displaystyle \alpha\in\mathcal{A}} \mathbb{Q}上最小多項式 fに対し,  m=H(f)とすれば、 {\displaystyle \mathcal{H}_m^\ast}{\displaystyle n}個め(順序は適当に決めておく)の元 f{\displaystyle l }番目(順序は適当に決めておく)の根として区別することができる。これは単射{\displaystyle \mathcal{A}\rightarrow\mathbb{N}^3;\alpha\mapsto(m,n,l)}の存在を示す

ゆえに、可算集合のある無限部分集合への全単射が構成できる{\displaystyle \mathcal{A}}可算集合である(証明終)

一般電卓で正の数の三乗根

図書室で読んだ本に面白いことが書いてあった.

それは普通の電卓で三乗根(の近似値)を計算するというものだった.普通の電卓というのは三角関数などの機能もない100円ショップで手に入るような極めて身近な電卓である.

・その計算方法

① 1を入力

② 2をかける

③「√ 」のボタンを2回続けて連打

④ ②,③の操作をもう一回

⑤ ④の操作を1セットをしても値が変わらなくなるまで、④を繰り返す

⑥ 値が変わらなくなったときの値が {\displaystyle \sqrt[3]{2}} である

手元の電卓で実際にやってみる

{\displaystyle 1\overset{\times2}{\rightarrow}2\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.4142135\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.189207}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.378414\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5422107\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2418577}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.4837154\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5759807\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2553806}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5107612\overset{\sqrt{\,}}{\rightarrow}1.5845381\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2587843}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5175686\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5866847\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2596367}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5192734\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5872219\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2598499}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5196998\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5873562\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599032}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198064\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5873898\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599165}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.519833\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5873981\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599198}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198396\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5874002\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599207}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198414\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5874008\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599209}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198418\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5874009\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599209}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198418\rightarrow\cdots}

となったから, {\displaystyle \sqrt[3]{2}\fallingdotseq1.2599209}

実際に三乗を計算すると, {\displaystyle 1.2599209^3=1.99999928617}{\displaystyle \sqrt[3]{2}} の近似値と言える.

・以降、三乗根の近似値が求まる原理を数学的に書いていく

2をかけて2回√ をとるという一連の操作が {\displaystyle n} 回行われたときの値を {\displaystyle a_n} とおくと,

{\displaystyle a_0=1} であり, {\displaystyle a_{n+1}=\sqrt{\sqrt{2a_n}}}となる

よって, {\displaystyle \log a_{n+1}=\frac{1}{4}\log2a_n=\frac{1}{4}(\log a_n+\log2)}

この漸化式を解くと, {\displaystyle \log a_n=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{4^n})\log2}

つまり, {\displaystyle a_n=2^{\frac{1}{3}(1-\frac{1}{4^n})}\rightarrow 2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}(n\rightarrow\infty)} だから, 数列 {\displaystyle {a_n}}{\displaystyle \sqrt[3]{2}} に 収束する.

この証明から②の「2をかける」の部分を「3をかける」や「5をかける」に変えれば,それぞれ {\displaystyle \sqrt[3]{3},\sqrt[3]{5}} の近似値が得られる.

・感想

確かめてみると原理に何も疑うところはないのだが、三乗根は電卓のルート計算で求められるという発想がなかったので、新鮮だった.

・参考文献

数理解析研究所講究録1920 RIMS共同研究 「数学教師に必要な数学能力の育成法に関する研究」p113 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/1920.html

Notes about specialized book

If I had much money, I would buy following books about mathematics or physics.(To be honest, I don't know why I have written not in Japanse but in English.......)

Real & Complex Analysis

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Functions of Several Variables (Undergraduate Texts in Mathematics)

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Linear Representations of Finite Groups (Graduate Texts in Mathematics)

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代数学とは何か

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Lie Groups Beyond an Introduction (Progress in Mathematics)

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Arithmetic of Quadratic Forms (Springer Monographs in Mathematics)

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Basic Number Theory (Classics in Mathematics)

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Local Fields (Graduate Texts in Mathematics)

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Galois Cohomology (Springer Monographs in Mathematics)

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代数的整数論

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復刊 代数的整数論

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素数と2次体の整数論 (数学のかんどころ 15)

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復刊 積分論

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Algebraic Topology: A First Course (Graduate Texts in Mathematics)

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絶対数学原論

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数論〈2〉岩沢理論と保型形式

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保型形式論: ─現代整数論講義─ (朝倉数学大系)

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位相群上の積分とその応用 (ちくま学芸文庫)

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わかりやすい 類体論と虚数乗法入門(上) (やさしい数学の発見シリーズ 3)

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わかりやすい類体論と虚数乗法入門(下) (やさしい数学の発見シリーズ 4)

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Introduction To Commutative Algebra, Student Economy Edition

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Lectures in Abstract Algebra: III. Theory of Fields and Galois Theory (Graduate Texts in Mathematics)

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Quadratic Residues and Non-Residues: Selected Topics (Lecture Notes in Mathematics)

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コホモロジーのこころ (岩波オンデマンドブックス)

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力学の考え方 (物理の考え方 1)

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熱・統計力学の考え方 (物理の考え方 3)

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電磁気学の考え方 (物理の考え方 2)

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ガロア理論と表現論の誤植・式変形メモ

ガロア理論と表現論」で発見した誤植やワンクッション入れた式変形

【第2章】

・p25の1行目の左から二番目の不等式について

{\displaystyle \sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m}p^{-m}\le\sum_{m=2}^{\infty}\frac{1}{2}p^{-m}=\frac{1}{2}\frac{p^{-2}}{1-p^{-1}}=\frac{1}{2p(p-1)}
}

・p26の10行目について

{\displaystyle
\quad\zeta(s)=\prod_{p}(1-p^{-s})
}

{\displaystyle
\quad\zeta(s)=\prod_{p}(1-p^{-s})^{-1}
}

・p29の5行目のシグマ記号について

{\displaystyle
\quad\sum_{\substack{\lambda\in\widehat{H\langle a_{1}\rangle}\\  \lambda_{1H}=\omega}}
}

{\displaystyle
\quad\sum_{\substack{\lambda\in\widehat{H\langle a_{1}\rangle}\\ \lambda\mid_{H}=\omega}}
}

・p29の定理1の証明の写像 {\displaystyle
\varphi
}単射性について

{\displaystyle
\mathrm{Ker}\varphi=\{1\}\\
\Leftrightarrow「\varphi(a)=\hat{a}=1\Rightarrow a=1」\\
\Leftrightarrow「a\neq1\Rightarrow\varphi(a)=\hat{a}\neq1」
}