2015-10-28

解析学B-10/28-メモ

Lem 2.4

$\ \ \varphi_1,\ldots,\varphi_n\in S_0 , t_0\in I \ とすると次は同値$

$(1) \varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t)\ は関数として一次独立$

$(2) \varphi_1(t_0),\ldots,\varphi_n(t_0)\ はベクトルとして一次独立$

$\because)\ \cdot (1) \Rightarrow (2)$

$c_1 \varphi_1(t_0) + \cdots + c_n \varphi_n(t_0) = 0 \ とする.$

$\varphi(t) := c_1 \varphi_1(t) + \cdots + c_n \varphi_n(t) \in S_0 \ また,\ 0 \in S_0$

$\varphi(t_0) = 0 \ より,解の一意性から\ \varphi(t) = 0 \ \therefore c_1 = \cdots = c_n = 0$

$\cdot (2) \Rightarrow (1)$

$c_1 \varphi_1(t) + \cdots + c_n \varphi_n(t) = 0 \ とすると\ t=t_0\ を代入し$

$c_1 \varphi_1(t_0) + \cdots + c_n \varphi_n(t_0) = 0 \ \therefore c_1 = \cdots = c_n = 0\ □$

Th 2.3

$\ \ S_0 \ は \ \mathbb{R}上n次元ベクトル空間$

$\because)\ \cdot x_1,x_2\in S_0,c_1,c_2\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow \frac{d}{dt}(c_1x_1+c_2x_2)=c_1\frac{dx_1}{dt}+c_2\frac{dx_2}{dt} = c_1 A x_1 +c_2 A x_2 = A (c_1x_1+c_2x_2)$

$\Rightarrow c_1x_1+c_2x_2 \in S_0$

$\cdot \ 任意の\ x(t)\in S_0 \ を一つとる.\ x_0:=x(t_0) \ とすれば$

$\exists c_1,\ldots,c_n\in\mathbb{R},x_0=c_1e_1+\cdots+c_ne_n.$

$\varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t)\in S_0 \ を\ \varphi_i(t_0)=e_i\ となるようにとれば,Lem\,2.4\ より一次独立で$

$\varphi(t):=c_1\varphi_1(t)+\cdots+c_n\varphi_n(t)\in S_0 \ とすると$

$\varphi(t_0)=c_1e_1+\cdots+c_ne_n=x_0=x(t_0)\ \therefore\ x(t)=\varphi(t)=c_1\varphi_1(t)+\cdots+c_n\varphi_n(t)$

$したがって,S_0\ はn個の一次独立な関数\varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t)で生成されるので,\mathrm{dim}S_0=n \ □$